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Binomische Formeln

Nelly hat ein quadratisches Hundebeet. Jede Seite ist x Meter lang, und auf jeder Seite kommen noch 3 Meter dazu. Die Fläche ist (x + 3) · (x + 3), kurz (x + 3)².

Für jede richtige Antwort gibt's ein Leckerli.
Die ganze Erklärung zum Nachlesen – mit Lösungen

Binomische Formeln: so erklärt Nelly es Schritt für Schritt

Für Eltern, Lehrkräfte und zum Wiederholen: alle 14 Schritte der Erklärung, mit den Lösungen zu Nellys Fragen.

  1. Nelly hat ein quadratisches Hundebeet. Jede Seite ist x Meter lang, und auf jeder Seite kommen noch 3 Meter dazu. Die Fläche ist (x + 3) · (x + 3), kurz (x + 3)².
  2. Das große Quadrat zerfällt in vier Teile: ein Quadrat x · x = x², ein kleines Quadrat 3 · 3 = 9 und zwei gleiche Rechtecke x · 3 = 3x. Zusammen: x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9.
  3. Was ergibt (x + 5)²? Denk an das Bild mit den vier Teilen.
    Lösung: x² + 10x + 25 – X², zweimal 5x und 25.
  4. Das ist die 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Die Mitte 2ab sind die zwei Rechtecke. Sie wird am häufigsten vergessen!
  5. Jetzt du: (x + 4)² = x² + □x + 16. Welche Zahl steht vor dem x?
    Lösung: 8 – 2 · x · 4 = 8x. Zwei Rechtecke mit je 4x.
  6. Die 2. binomische Formel ist für Minus: (a − b)² = a² − 2ab + b². Die Mitte bekommt ein Minus. Das Ende bleibt plus, denn Minus mal Minus ergibt plus.
  7. (x − 6)² = x² − 12x + □. Welche Zahl steht am Ende?
    Lösung: 36 – (−6) · (−6) = 36. Das Ende ist immer plus.
  8. Die 3. binomische Formel: (a + b) · (a − b) = a² − b². Beim Ausmultiplizieren kommt einmal +ab und einmal −ab heraus. Die beiden heben sich auf, die Mitte verschwindet!
  9. Was ergibt (x + 7) · (x − 7)?
    Lösung: x² − 49 – Die Mitte hebt sich auf, übrig bleibt x² − 49.
  10. Achtung bei einer Zahl vor dem x: In (3x + 2)² wird das ganze 3x quadriert. (3x)² = 3x · 3x = 9x², nicht 3x². Die Mitte ist 2 · 3x · 2 = 12x.
  11. (2x + 5)² = □x² + 20x + 25. Welche Zahl steht vor x²?
    Lösung: 4 – (2x)² = 2x · 2x = 4x².
  12. Ein Kopfrechentrick: 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601. Und 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
  13. Rechne im Kopf: 29 · 31. Tipp: 30 liegt genau in der Mitte.
    Lösung: 899 – 900 − 1 = 899. Ganz ohne schriftlich rechnen!
  14. Merk dir: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Vergiss die Mitte 2ab nicht und quadriere die Zahl vor dem Buchstaben mit.

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