Lineare Funktionen

Lineare Funktionen: so erklärt Nelly es Schritt für Schritt

Für Eltern, Lehrkräfte und zum Wiederholen: alle 16 Schritte der Erklärung, mit den Lösungen zu Nellys Fragen.

1. Nellys Futterautomat: Am Anfang liegt 1 Leckerli drin. Jede Minute fallen 2 dazu. In der Wertetabelle steht x für die Minuten und y für die Leckerlis.
2. Wie viele Leckerlis sind es nach 4 Minuten?
   Lösung: 9 Leckerlis – 7 + 2 = 9. Oder gerechnet: 2 · 4 + 1 = 9.
3. Jetzt trägst du jedes Wertepaar als Punkt ein. Die Punkte liegen alle auf einer geraden Linie! Darum heißt das eine lineare Funktion. Ihre Gleichung: y = 2x + 1.
4. Die Steigung m sagt: Geh 1 nach rechts, dann so viel hoch. Hier 2 hoch, also m = 2. Das sind genau die 2 Leckerlis pro Minute. Das kleine Dreieck heißt Steigungsdreieck.
5. Der y-Achsenabschnitt b ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet: hier bei 1. Das ist das Leckerli vom Anfang. So wird aus y = mx + b die Gleichung y = 2x + 1. In Bayern heißt b oft t: y = mx + t.
6. Welche Steigung hat diese Gerade?
   Lösung: m = 3 – 1 nach rechts, 3 hoch. Die Gleichung ist y = 3x − 2.
7. Lies den y-Achsenabschnitt b dieser Geraden ab.
   Lösung: b = −2 – Die Gerade schneidet die y-Achse bei −2.
8. Geht die Gerade nach rechts bergab, ist die Steigung negativ. Hier: 1 nach rechts, 2 nach unten. Also m = −2 und y = −2x + 3.
9. Lies die Steigung m an diesem Steigungsdreieck ab. Zähl die Kästchen!
   Lösung: m = −12 – 1 runter auf 2 nach rechts, also m = −12.
10. Mit der Gleichung kannst du jeden Wert ausrechnen. y = 3x − 2: Wie groß ist y für x = 4?
    Lösung: y = 10 – 3 · 4 = 12, dann 12 − 2 = 10.
11. Liegt ein Punkt auf der Geraden? Das prüfst du mit der Punktprobe: Setz die x-Zahl des Punktes in die Gleichung ein. Kommt seine y-Zahl heraus, liegt er auf der Geraden. Beispiel y = 2x − 1 und P(2 | 3): 2 · 2 − 1 = 3. Das passt!
12. Liegt der Punkt Q(3 | 4) auf der Geraden y = 2x − 1?
    Lösung: Nein, Q liegt nicht auf der Geraden. – Für x = 3 kommt 2 · 3 − 1 = 5 heraus, nicht 4. Q liegt unter der Geraden.
13. Die Nullstelle ist die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet. Dort ist y = 0. Setz also 0 für y ein und löse nach x auf: 0 = 2x − 4, also 2x = 4 und x = 2.
14. Berechne die Nullstelle von y = 2x − 6.
    Lösung: x = 3 – 2x = 6, also x = 6 : 2 = 3.
15. Kennst du zwei Punkte der Geraden, findest du m so: Unterschied der y-Werte geteilt durch Unterschied der x-Werte. Hier P(1 | 1) und Q(3 | 5): m = (5 − 1) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2. Dann setzt du P ein: 1 = 2 · 1 + b, also b = −1. Die Gleichung: y = 2x − 1.
16. Merk dir: Eine lineare Funktion hat die Gleichung y = mx + b. Ihr Graph ist eine Gerade. m ist die Steigung: pro 1 nach rechts so viel hoch, bei Minus so viel runter. b ist der y-Achsenabschnitt: Dort schneidet die Gerade die y-Achse.

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