Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme: so erklärt Nelly es Schritt für Schritt

Für Eltern, Lehrkräfte und zum Wiederholen: alle 12 Schritte der Erklärung, mit den Lösungen zu Nellys Fragen.

1. Nelly kauft im Tierladen ein. 2 Knochen und 1 Ball kosten 7 €. 1 Knochen und 1 Ball kosten 5 €. Was kostet ein Knochen, was ein Ball? Zwei Angaben, zwei Unbekannte: ein Gleichungssystem.
2. Vergleich die beiden Einkäufe: Beim ersten ist genau 1 Knochen mehr dabei. Um wie viel Euro ist er teurer? So viel kostet 1 Knochen.
   Lösung: 2 € – 7 € − 5 € = 2 €. Der Ball kürzt sich weg.
3. In Mathe schreibt man x für den Knochen und y für den Ball. Wenn du (II) von (I) abziehst, fällt y weg: x = 2. Das ist das Additionsverfahren – addieren oder abziehen, bis eine Unbekannte verschwindet.
4. Setz x = 2 in (II) ein: 2 + y = 5. Was kostet der Ball?
   Lösung: y = 3 € – Der Ball kostet 3 €. Die Lösung ist x = 2 und y = 3, kurz (2|3).
5. Jede Gleichung ist eine Gerade: Aus (I) wird y = −2x + 7, aus (II) wird y = −x + 5. Die Lösung (2|3) liegt auf beiden Geraden – sie ist ihr Schnittpunkt.
6. Wo schneiden sich diese beiden Geraden? Das ist die Lösung des Gleichungssystems.
   Lösung: (2|3) – Im Punkt (2|3). Probe: 2 + 1 = 3 und −2 + 5 = 3 ✓
7. Rechnen geht genauer als Ablesen. Beginnen beide Gleichungen mit „y =“, setzt du die rechten Seiten gleich: das Gleichsetzungsverfahren. x + 1 = −x + 5, also 2x = 4 und x = 2. Dann y = 2 + 1 = 3.
8. Jetzt du: Setz gleich und rechne x aus.
   Lösung: x = 3 – 2x − 1 = x + 2, also x = 3. Und y = 5.
9. Steht nur in einer Gleichung „y = …“, setzt du das in die andere ein: das Einsetzungsverfahren. Aus y = 2x und x + y = 9 wird x + 2x = 9, also x = 3 und y = 6.
10. Wie viele Lösungen hat dieses Gleichungssystem?
    Lösung: keine – Beide Geraden haben die Steigung 2. Sie laufen parallel und treffen sich nie – keine Lösung.
11. Zum Schluss immer die Probe: x und y in beide Gleichungen einsetzen. Für Nellys Einkauf: 2 · 2 + 3 = 7 ✓ und 2 + 3 = 5 ✓. Ein Knochen kostet 2 €, ein Ball 3 €.
12. Merk dir: Ein lineares Gleichungssystem hat zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y. Die Lösung ist das Paar (x|y), das beide Gleichungen erfüllt – der Schnittpunkt der beiden Geraden. Rechnen kannst du mit Gleichsetzen, Einsetzen oder Addieren, bis eine Unbekannte wegfällt. Parallele Geraden: keine Lösung. Dieselbe Gerade: unendlich viele.

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