Quadratische Ergänzung

Quadratische Ergänzung: so erklärt Nelly es Schritt für Schritt

Für Eltern, Lehrkräfte und zum Wiederholen: alle 9 Schritte der Erklärung, mit den Lösungen zu Nellys Fragen.

1. Nellys Hundekissen ist ein Quadrat mit der Seite x + 3. Seine Fläche (x + 3)² besteht aus vier Teilen: x², zweimal 3x und 9. Zusammen: x² + 6x + 9.
2. Jetzt rückwärts: x² + 10x + 25 ist ein ganzes Quadrat (x + ?)². Welche Zahl gehört in die Klammer?
   Lösung: x + 5 – 10 : 2 = 5 und 5 · 5 = 25.
3. Bei x² + 6x + 11 passt es nicht ganz. Die ersten beiden Teile gehören zu (x + 3)² – das braucht 9. Von 11 bleiben 2 übrig: x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2. Das heißt quadratische Ergänzung.
4. Ergänze: x² + 8x + 20 = (x + 4)² + ?
   Lösung: (x + 4)² + 4 – (x + 4)² enthält schon 16. 20 − 16 = 4.
5. Wozu das? Ein Quadrat ist nie kleiner als 0. (x + 3)² + 2 ist also nie kleiner als 2 – und genau 2 bei x = −3. Das ist der kleinste Wert des Terms.
6. Welchen kleinsten Wert hat (x − 2)² + 5?
   Lösung: 5 – Bei x = 2 ist die Klammer 0, dann bleibt 5.
7. Steht ein Minus vor dem Quadrat, ist es umgekehrt: −(x − 1)² + 7 ist nie größer als 7. Der größte Wert ist 7, bei x = 1.
8. Ein Rechteck hat 20 cm Umfang. Die Seiten sind x und 10 − x, die Fläche x · (10 − x) = −(x − 5)² + 25. Wie groß kann die Fläche höchstens werden?
   Lösung: 25 cm² – Bei x = 5 ist es ein Quadrat mit 5 · 5 = 25 cm².
9. Merk dir: Ergänze x² + bx + c zu (x + b2)² + Rest: Die Zahl in der Klammer ist die Hälfte von b, der Rest ist c minus ihr Quadrat. Weil ein Quadrat nie negativ ist, ist der Rest der kleinste Wert – bei Minus vor dem Quadrat der größte.

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