x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2 – und der kleinste Wert
Ergänze x² + bx + c zu (x + b2)² + Rest: Die Zahl in der Klammer ist die Hälfte von b, der Rest ist c minus ihr Quadrat. Weil ein Quadrat nie negativ ist, ist der Rest der kleinste Wert – bei Minus vor dem Quadrat der größte.
Nelly erklärt Quadratische Ergänzung in 9 kleinen Schritten mit Bildern – zum Mitmachen. Zur Erklärung →
Das ist ein ganzes Quadrat. Welche Zahl steht in der Klammer?
x² + 14x + 49 = (x + ?)²
Lösung: x + 7
Typischer Fehler: x + 14 – Nicht halbiert. In der Mitte steht 2 · 7 · x. Die Zahl in der Klammer ist 14 : 2.
Ergänze zum Quadrat: Was bleibt hinter der Klammer übrig?
x² − 12x + 45 = (x − 6)² + ?
Lösung: (x − 6)² + 9
Typischer Fehler: (x − 6)² + 45 – Das Quadrat vergessen. In (x − 6)² stecken schon 36. Übrig bleibt 45 − 36.
Welchen kleinsten Wert hat der Term, und bei welchem x?
x² + 10x + 35
Lösung: kleinster Wert: 10, bei x = −5
Typischer Fehler: kleinster Wert: 10, bei x = 5 – Vorzeichen bei x. (x + 5)² wird 0, wenn x + 5 = 0 ist, also bei x = −5.
Beim Üben gibt es zu Quadratische Ergänzung Aufgaben auf 4 Stufen: Ganzes Quadrat erkennen, Zum Quadrat ergänzen, Kleinster Wert, Größter Wert & Rechtecke. Jetzt üben → Lieber auf Papier? Arbeitsblatt mit Lösungen drucken →
Ergänze x² + bx + c zu (x + b2)² + Rest: Die Zahl in der Klammer ist die Hälfte von b, der Rest ist c minus ihr Quadrat. Weil ein Quadrat nie negativ ist, ist der Rest der kleinste Wert – bei Minus vor dem Quadrat der größte.
„Quadratische Ergänzung“ steht meist in Klasse 8 auf dem Lehrplan (Realschule). Bei Nelly gibt es dazu 4 Stufen: Ganzes Quadrat erkennen, Zum Quadrat ergänzen, Kleinster Wert, Größter Wert & Rechtecke.
x + 14 statt x + 7: Nicht halbiert. In der Mitte steht 2 · 7 · x. Die Zahl in der Klammer ist 14 : 2. (x − 6)² + 45 statt (x − 6)² + 9: Das Quadrat vergessen. In (x − 6)² stecken schon 36. Übrig bleibt 45 − 36. kleinster Wert: 10, bei x = 5 statt kleinster Wert: 10, bei x = −5: Vorzeichen bei x. (x + 5)² wird 0, wenn x + 5 = 0 ist, also bei x = −5.